By Gerd Fischer
ISBN-10: 3322889211
ISBN-13: 9783322889218
ISBN-10: 3528672358
ISBN-13: 9783528672355
Dieser Band enthält Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen. Ausgehend von affinen Unterräumen in Vektorräumen werden allgemeine affine Räume eingeführt, und es wird gezeigt, wie sich geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln behandeln lassen. Ein Kapitel über lineare Optimierung befaßt sich mit Systemen linearer Ungleichungen. Mit Hilfe der elementaren Theorie konvexer Mengen kann guy die Optimierung eines linearen Funktionals auf die Lösung linearer Gleichungssysteme zurückführen. Anschließend wird der für praktische Anwendungen so wichtige Simplex-Algorithmus abgeleitet. Besonderer Wert wird dabei auf einen Einblick in die geometrischen Zusammenhänge gelegt. Durch den projektiven Abschluß affiner Räume enthält guy den angemessenen Rahmen für das Studium von Sätzen aus der klassischen Geometrie. Durch viele Zeichnungen, Beispiele und Übungsaufgaben wird versucht, das Lesers Liebe zur Geometrie zu vertiefen.
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Zwei Durchmesser D und D' von C hei~en konjugiert, wenn ihre Urbilder unter f aufeinander senkrecht steten. 35). 3S Vbungsaufgabe 3. a) Jede zu D paraliele Sehne S wird durch D' halbiert. b) d(O,p)2 +d(O,p'i =a2 +b 2. c) Das Dreieck opp' hat die Plache tab. Bisher haben wir die Koordinaten stets so gelegt, d~ die vier Scheitel der Ellipse auf den Achsen lagen. Wahlt man allgemeinere Koordinaten, so werden die Ellipsen gleichungen komplizierter. 7. 42 1. Affine Geometrie B Parabeln Die in Satz 2 bewiesene Leitlinieneigenschaft der Ellipse legt es nahe, die Exzentrizitlit e gegen den Grenzwert 1 gehen zu lassen, Dazu betrachten wir fUr ein c > 0 den Punkt F =(c, 0) und die Gerade L mit der Gleichung x =- c.
X2 + (4 COs I{! )zx + y2 = (COS 2 1{! )z2 . Dies ist die Gleichung im (x, y, z)-Koordinatensystem des gedrehten Kegels. In der Eber Z = {(X,y,z) E IR 3 : z= I} hat man Koordinaten (x, y) und Z n C ist beschrieben durch die Gleichung (COS 2 1{! )x2 + (4 cos I{! )x + y2 = (COS 21{! ). 4. 46 Wir behaupten nun, d~ sich in Abhiingigkeit von <{! folgende Schnittkurve ergibt (vgl. 30): o ,,;; <{! 1T i: 1T Ellipse = 4": Parabel <{! ,,;; 1T "2: Hyperbel <{! 47 Aus Symmetriegriinden ergibt sich fur die anderen Winkel nichts Neues.
Pm E K n eine Linearkombination AoPo +AIPI + ... +AmPm affin (oder Affinkombination), wenn Ao + ... + Am = 1, so k6nnen wir folgendes Ergebnis notieren: Satz. FUr beliebige Punkte Po, ... , Pm E K n ist der Verbindungsraum Po V ... V Pm gleich der Menge der Affinkombinationen von Po, ... , Pm , also f Po V ... V Pm = { AiPi E Kn : Ao, .. ·, Am E K, i=0 I Ai = I} i=0 Die Skalare Ao, ... , Am sind dabei genau dann eindeutig bestimmt, wenn Po, ... , Pm affin unabhangig sind. Vorsicht! Die Menge der Linearkombinationen ist gleich dem von Po, ...
Analytische Geometrie: Eine Einführung für Studienanfänger by Gerd Fischer
by Kevin
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